Continuidad-Discontinuidad y Límites de una función

CONTINUIDAD

Una función es continua en un intervalo si se puede dibujar la gráfica en dicho intervalo de un solo trazo.

Es una función polinómica y es continua en todo su dominio

f(x)=x²

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abscisa exhibe allí una discontinuidad.

La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.

Expresemos esto en términos del concepto de límite.

Ejemplos de discontinuidad

f(x)= 1/x²

Discontinua en x=0 (No existe f(0))

f(x) = x² si x <= 2
        2x - 4 si x > 2

Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe lim_x->2f(x), pues lim_x->2-f(x)=4 y lim_x->2+f(x)=0

Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".

Definición

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y lim_x->a-f(x) = f(a).

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y lim_x->a+f(x) = f(a).

La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.

Continuidad de una función en un intervalo abierto

Una función es continua en un intervalo abierto o unión de intervalos abiertos si es continua en cada punto de ese conjunto.

Decimos que f(x) es continua en (a, b) sí y sólo sí f(x) es continua " x Î (a, b).

Ejemplo:

 Analice la continuidad de la función h(x) 

=en el intervalo (–1, 1)

Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:

f es continua en a por la derecha
f es continua en b por la izquierda

Evitable

Caso A:

No existe f(a) pero existe lim_x->af(x).

Ejemplo:

f(x)= e-1/x2 + 2

No existe f (0) pues anula un denominador.

lim_x->0-f(x) = lim_x->0+f(x) = 2 o sea lim_x->0f(x)=2

Podemos extender la definición de la función, asignándole en el punto al valor del límite, con lo cual la función se torna continua. Por ello este tipo de discontinuidad se denomina evitable.

F es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b)

No evitable

lim_x->a-f(x) ≠ lim_x->a+f(x).
(Los límites laterales son distintos).

Ejemplo:

f(x) = x/(x - 2)

lim_x->2-f(x) = -inf
lim_x->2+f(x) = +inf

FUNCIONES DISCONTINUAS O DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Concepto y tipos de discontinuidad

·     Con respecto a lo anterior podemos decir que una función es discontinua cuando, una función f definida en un intervalo abierto que contenga aɑ es discontinua en ɑ si:

·    f no tiene límite cuando x —> ɑ

·    Cuando x —> ɑ, f tiene un límite diferente de f(ɑ)

·    si f no está definida en ɑ, no es continua allí. Sin embargo, si f no está definida en ɑ pero si está definida para todos los valores cercanos, entonces no solo no es continua en ɑ, es discontinua allí.

EJEMPLO:

La función es discontinua porque en x = 2 no existe imagen.

Límite de una función

Idea intuitiva de límite:

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes

(Las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden 

A x⁰

^{Def. De límite de una función en un punto}

Se  dice  que  la función  f(x) tiene  como  límite  el número L, cuando  x tiende  a  x₀, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x₀ que cumplen la condición |x - x₀| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

Si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio, existe un entorno de  x₀, Eδ^(x0⁾, cuyos elementos (sin contar x₀), tienen sus imágenes dentro del entorno de L, Eε(L).

Límites laterales

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ (a+δ, a ) , entonces |f (x) - L| <ε .

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ (a, a + δ), entonces |f (x) - L| <ε.

El límite de una función en un punto si existe, es único. Para que exista el límite

de  una  función  en  un  punto,  tienen  que  existir  los  límites  laterales  en  ese  punto  y coincidir.

Ejemplo: 

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x

tiende a 2 es 4.  

El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2. 

Ejemplo:

Dada la función:

Hallar:

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.

Limites infinitos

Límite más infinito

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si para todo número real positivo (K>0) se verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a a.  

Ejemplo:

Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x--a, si fijado un número real negativo K

< 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.

Ejemplo:

Propiedades de los límites

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto 

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de un logaritmo

APLICACIÓN DE LÍMITES EN LA ARQUITECTURA

Uso de los Límites

Se usa el límite en cálculo (por lo que también se usa en el análisis real y matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación, integración, y muchas otras cosas.

También en construcciones al diseñar un puente o una edificación sirve para calcular y tener el mínimo error de cálculo de esta futura edificación.

A su vez también con limites podemos ayudarnos a sacar bien un presupuesto el cual le servirá de referencia la cliente y al arquitecto le sirve para no irse en contra o en pérdidas.

Los límites son utilizados en la vida diaria dentro de fábricas, empresas y sistemas.
En la Arquitectura se utiliza los límites para evitar cualquier rango de error que pueda existir al culminar una construcción en serie, sea esta de condominios, urbanizaciones o inclusive ciudades enteras, ya que cada cálculo de la necesidad del ser humano dentro de estas edificaciones tiene su respectiva gráfica y cumplen con una función.

 

La construcción en serie permite ademas la conformación de calles muy ordenadas y un ahorro importante en el presupuesto general.

 

 Uso de limites en ciudades 

 

 

BIBLIOGRAFIA:

http://matematica.50webs.com/continuidad.html

http://www.vitutor.com/fun/3/b_4.html

http://html.rincondelvago.com/funciones-continuas-y-discontinuas_1.html

http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/1BachCT/Limite%20de%20una%20funcion.pdf
http://limitesdjdomatematicos.blogspot.com/2009/08/limites-matematicos_11.html
 http://arquijus.blogspot.com/2008_03_01_archive.html