Continuidad-Discontinuidad y Límites de una función

CONTINUIDAD

Una función es continua en un intervalo si se puede dibujar la gráfica en dicho intervalo de un solo trazo.

Es una función polinómica y es continua en todo su dominio

f(x)=x²

Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de un sólo trozo de curva.

En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abscisa exhibe allí una discontinuidad.

La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.

Expresemos esto en términos del concepto de límite.

Ejemplos de discontinuidad

f(x)= 1/x²

Discontinua en x=0 (No existe f(0))

f(x) = x² si x <= 2
        2x - 4 si x > 2

Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe lim_x->2f(x), pues lim_x->2-f(x)=4 y lim_x->2+f(x)=0

Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".

Definición

Continuidad por la izquierda

Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y lim_x->a-f(x) = f(a).

Continuidad por la derecha

Una función f(x) es continua por la derecha en el punto a si existe f(a) y lim_x->a+f(x) = f(a).

La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.

Continuidad de una función en un intervalo abierto

Una función es continua en un intervalo abierto o unión de intervalos abiertos si es continua en cada punto de ese conjunto.

Decimos que f(x) es continua en (a, b) sí y sólo sí f(x) es continua " x Î (a, b).

Ejemplo:

 Analice la continuidad de la función h(x) 

=en el intervalo (–1, 1)

Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]

Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:

f es continua en a por la derecha
f es continua en b por la izquierda

Evitable

Caso A:

No existe f(a) pero existe lim_x->af(x).

Ejemplo:

f(x)= e-1/x2 + 2

No existe f (0) pues anula un denominador.

lim_x->0-f(x) = lim_x->0+f(x) = 2 o sea lim_x->0f(x)=2

Podemos extender la definición de la función, asignándole en el punto al valor del límite, con lo cual la función se torna continua. Por ello este tipo de discontinuidad se denomina evitable.

F es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto (a,b)

No evitable

lim_x->a-f(x) ≠ lim_x->a+f(x).
(Los límites laterales son distintos).

Ejemplo:

f(x) = x/(x - 2)

lim_x->2-f(x) = -inf
lim_x->2+f(x) = +inf

FUNCIONES DISCONTINUAS O DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Concepto y tipos de discontinuidad

·     Con respecto a lo anterior podemos decir que una función es discontinua cuando, una función f definida en un intervalo abierto que contenga aɑ es discontinua en ɑ si:

·    f no tiene límite cuando x —> ɑ

·    Cuando x —> ɑ, f tiene un límite diferente de f(ɑ)

·    si f no está definida en ɑ, no es continua allí. Sin embargo, si f no está definida en ɑ pero si está definida para todos los valores cercanos, entonces no solo no es continua en ɑ, es discontinua allí.

EJEMPLO:

La función es discontinua porque en x = 2 no existe imagen.

Límite de una función

Idea intuitiva de límite:

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes

(Las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden 

A x⁰

^{Def. De límite de una función en un punto}

Se  dice  que  la función  f(x) tiene  como  límite  el número L, cuando  x tiende  a  x₀, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε , tal que, para todos los valores de x distintos de x₀ que cumplen la condición |x - x₀| < δ , se cumple que |f(x) - L| <ε .

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

Si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio, existe un entorno de  x₀, Eδ^(x0⁾, cuyos elementos (sin contar x₀), tienen sus imágenes dentro del entorno de L, Eε(L).

Límites laterales

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ (a+δ, a ) , entonces |f (x) - L| <ε .

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por la derecha es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ (a, a + δ), entonces |f (x) - L| <ε.

El límite de una función en un punto si existe, es único. Para que exista el límite

de  una  función  en  un  punto,  tienen  que  existir  los  límites  laterales  en  ese  punto  y coincidir.

Ejemplo: 

En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la derecha cuando x

tiende a 2 es 4.  

El límite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2. 

Ejemplo:

Dada la función:

Hallar:

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x = 0.

Limites infinitos

Límite más infinito

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si para todo número real positivo (K>0) se verifica que f(x)>k para todos los valores próximos a a.  

Ejemplo:

Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x--a, si fijado un número real negativo K

< 0 se verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.

Ejemplo:

Propiedades de los límites

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto 

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de un logaritmo

APLICACIÓN DE LÍMITES EN LA ARQUITECTURA

Uso de los Límites

Se usa el límite en cálculo (por lo que también se usa en el análisis real y matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación, integración, y muchas otras cosas.

También en construcciones al diseñar un puente o una edificación sirve para calcular y tener el mínimo error de cálculo de esta futura edificación.

A su vez también con limites podemos ayudarnos a sacar bien un presupuesto el cual le servirá de referencia la cliente y al arquitecto le sirve para no irse en contra o en pérdidas.

Los límites son utilizados en la vida diaria dentro de fábricas, empresas y sistemas.
En la Arquitectura se utiliza los límites para evitar cualquier rango de error que pueda existir al culminar una construcción en serie, sea esta de condominios, urbanizaciones o inclusive ciudades enteras, ya que cada cálculo de la necesidad del ser humano dentro de estas edificaciones tiene su respectiva gráfica y cumplen con una función.

 

La construcción en serie permite ademas la conformación de calles muy ordenadas y un ahorro importante en el presupuesto general.

 

 Uso de limites en ciudades 

 

 

BIBLIOGRAFIA:

http://matematica.50webs.com/continuidad.html

http://www.vitutor.com/fun/3/b_4.html

http://html.rincondelvago.com/funciones-continuas-y-discontinuas_1.html

http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/1BachCT/Limite%20de%20una%20funcion.pdf
http://limitesdjdomatematicos.blogspot.com/2009/08/limites-matematicos_11.html
 http://arquijus.blogspot.com/2008_03_01_archive.html

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES EN LA ARQUITECTURA

En Matemáticas, Función es el término utilizado para dar a conocer una relación o correspondencia de un valor hacia otro, es decir una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda

A la función se le suele designar por f y a la imagen por f(x), siendo x la variable independiente. ·    Variable independiente: la que se fija previamente ·    Variable dependiente: La que se deduce de la variable independiente.

Las funciones son como máquinas a las que se les introduce un elemento x y devuelven otro valor y, que también se designa por f(x).

Por ejemplo, la función f(x) = 3x² + 1 es la que a cada número le asigna el cuadrado del número multiplicado por 3 y luego sumado 1.

Así f (2) = 3*2² + 1= 3*4 + 1 = 12 + 1 = 13

           FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.

 En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a: x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.

 

Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:

Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si se añaden 360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir, 

Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.

Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.

Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo.

Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente:

 

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que q = 45 ° y que b = a, y además se sabe, por el Teorema de Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c2= 2a2 o que c = a2. Por tanto

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden hallar de forma aproximada dibujando el ángulo en su posición normal utilizando la regla, el compás y el transportador de ángulos. Si se miden (x, y) y r es fácil calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos específicos, pues los valores de los demás ángulos y las demás funciones se calculan utilizando las igualdades que se mencionan en el siguiente apartado.

En Topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ángulo. Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello ésta se aparta cada vez más de su vertical.  Originalmente tenía una altura de 54,6m, aproximadamente. 

En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre, determinó un ángulo de elevación de 60º a la punta de la torre, el observador para determinar al desplazamiento

(Hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con la altura de la torre) aplicó la ley del SENO para determinar el ángulo de inclinación  y la ley del COSENO para determinar el desplazamiento de la torre que se observa a continuación.

         FUNCIONES EXPONENCIALES 

La función exponencial es de la forma y=a^X, siendo a un número real positivo. 

En la figura se ve el trazado de la gráfica de y=2x. 

 Ejemplo:    

      X          Y

    -3      0,125

    -2      0,25

    -1      0,5

     0        1

    1        2

    2        4

    3        8

           -0,5   -2

  

La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica, por cuanto se cumple que:

Propiedades de las funciones exponenciales

Para toda función exponencial de la forma f(x) = a^x, se cumplen las siguientes propiedades generales:

• La función aplicada al valor cero es siempre igual a 1: f (0) = a⁰ = 1.
• La función exponencial de 1 es siempre igual a la base: f (1) = a¹ = a.
• La función exponencial de una suma de valores es igual al producto de la aplicación de dicha función aplicada a cada valor por separado. f (x + x?) = a^x+x? = a^x × a^x? = f (x) × f (x?).
• La función exponencial de una resta es igual al cociente de su aplicación al minuendo dividida por la función del sustraendo:
  f (x - x?) = a^x-x? = a^x/a^x? = f (x)/f (x?).
  
  
  Función exponencial según el valor de la base
  

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

La función exponencial puede ser usada para la realización de cálculos con respecto a la relación de peso en torres como en el caso de la TORRE EIFFEL fue usada para calibrar el efecto de las fuerzas ejercidas por el viento sobre determinados puntos estructurales de la torre

            FUNCIÓN LOGARÍTMICA 

Dada una función inyectiva, y=f(x), se llama función inversa de f a otra función, g, tal que g (y)=x. En la figura adjunta se puede ver la inversa de la función exponencial.
log_a x = b      Û      a^b = x.

Para cada x se obtiene ax. Al valor obtenido lo llamamos y o f(x). La función inversa de la exponencial es la que cumple que g (y)=x.

Esta función se llama función logarítmica y, como puedes observar, es simétrica de la función exponencial con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

Definición: 

Es la función inversa de la función exponencial y se denota de la siguiente manera

y = log_ax, con a>0 y distinto de 1.

En la figura se representa la gráfica de y=log₂x de forma similar a como se hizo con la exponencial. Sus propiedades son "simétricas".

Propiedades de los logaritmos
• Logaritmo del producto: loga (b·c)=log_ab+log_ac
• Logaritmo del cociente: loga =log_ab–log_ac
• Logaritmo de una potencia: loga (b^m)=m·log_ab
• En cualquier base: loga1=0  ya que a0=1

 Logaritmos decimales
Son los de base    10, son los más usados y por este motivo no suele escribirse la base cuando se utilizan. 
Log 10 = log 10¹=1
Log 100 = log 10²=2
Log 1000 = log 10³ = 3
Log 10000 = log 10⁴ = 4,…etc.
Observa que entonces el log de un número de 2
cifras, comprendido entre 10 y 100, es 1,... ; el log de
los números de 3 cifras será 2,... ; etc. 
Por otra parte:
Log 0,1 = log 10^-1= -1  
Log 0,01 = log 10 ^-2= -2
Log 0,001 = log 10^-3 = -3,…etc.
Entonces el log de un número comprendido entre
0,01 y 0,1 será -1,...; el de uno comprendido entre
0,001 y 0,01 será -2,..., etc. 

Cambio de base

Las calculadoras permiten calcular dos tipos de

logaritmos: decimales (base=10) y neperianos o

naturales (base=e), que se estudian en cursos

posteriores. Cuando queremos calcular logaritmos en

cualquier otra base tenemos que recurrir a la fórmula

del cambio de base: 

log_ab = logb

             log a

Ejercicio:

x
1/8	3
1/4	2
1/2	1
1	0
2	-1
4	-2
8	-3

Las funciones logarítmicas fueron añadidas con el fin de simplificar las multiplicación,  divisiones y raíces de un sin número de cantidades de cifras altas, como en la trigonometría es una abreviatura de cálculo de ángulos y pendientes

Como arquitectos hay que tener en cuenca un pequeño detalle cómo es la acústica el uso del logaritmo para el sonido, se puede llegar a hallar las vibraciones de la tonalidad del sonido pero para hallar sus vibraciones siempre tiene que estar el logaritmo en base 2 para poder hallar la vibración.

FUNCIONES CUADRÁTICAS

Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola se encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre "hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo (es decir, la parábola se abre "hacia abajo").

El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida es una familia de funciones cúbicas

Las funciones se encuentran constantemente en la arquitectura de puentes parabólicos, poseen un diseños complejo pero con una gran resistencia